De la mesa de pool a la ecuación que gobierna el electrón, y de ahí a la pregunta de si el futuro ya está escrito
I. El mundo que vemos
Imaginemos una mesa de billar. Le pegamos a la bola blanca, la bola recorre la banda, choca contra otra y se detiene en algún punto previsible: si conocemos la fuerza del taco, el ángulo exacto y el coeficiente de roce del paño, un colegial con una calculadora puede predecir, con razonable precisión, dónde va a terminar. Esa es la física que aprendemos en la escuela secundaria, la de Newton: un mundo de causas y efectos que se encadenan sin sobresaltos, donde el futuro es, en principio, calculable a partir del presente.
Pero cambiemos la forma de la mesa. En lugar de un rectángulo, dibujemos un estadio: dos segmentos rectos, arriba y abajo, unidos por dos semicírculos a los costados. Esta figura tiene nombre propio en la física —estadio de Bunimovich, en honor al matemático soviético Leonid Bunimovich, que la introdujo en 1974— y esconde una propiedad extraordinaria. Bunimovich demostró que ese contorno, pese a estar compuesto únicamente por tramos rectos y curvos suaves, sin ningún obstáculo disperso adentro, produce una dinámica completamente caótica: es ergódica, mixing y tiene la propiedad de Kolmogorov, lo que en criollo significa que una trayectoria típica termina visitando, tarde o temprano, cualquier rincón de la mesa con una frecuencia estadísticamente uniforme (Bunimovich, 1974; ver también la revisión de Georgiou sobre la probabilidad de supervivencia en el estadio). Antes de este resultado se pensaba que el caos necesitaba paredes cóncavas, como en el gas de Lorentz de Yakov Sinai, que dispersan los rayos de luz como un espejo convexo dispersa la luz de una lámpara. Bunimovich mostró que alcanza con un mecanismo mucho más sutil, el desenfoque: un haz de trayectorias paralelas que entra en uno de los semicírculos converge primero hacia un foco y luego, al seguir viajando dentro de la región curva, se abre de nuevo, y esa apertura post-focal es la que estira exponencialmente cualquier diferencia inicial entre dos trayectorias vecinas.
La consecuencia práctica es la que describe el guion original de este ensayo: si tiramos la bola con un milímetro de diferencia en el ángulo inicial, después de apenas tres o cuatro rebotes contra las paredes curvas las dos trayectorias —la real y la que hubiéramos obtenido con ese milímetro de más— ya no tienen nada que ver entre sí. Esa divergencia no es progresiva ni suave: es exponencial. Se mide con un número llamado exponente de Lyapunov, que cuantifica la velocidad con que dos trayectorias infinitesimalmente próximas se separan en el espacio de fases; en el estadio de Bunimovich ese exponente es positivo para cualquier longitud de los tramos rectos, por mínima que sea, y solo se anula en los casos límite degenerados del círculo puro o del corredor infinito (Datseris, Hupe y Fleischmann, 2019). Ese es el caos: no ausencia de leyes, sino leyes perfectamente deterministas que amplifican cualquier incertidumbre inicial hasta volverla, en la práctica, absoluta.
II. La realidad microscópica
Ahora encojamos esa misma mesa hasta el tamaño de una molécula. La bola de billar deja de comportarse como una esfera sólida con una posición definida en cada instante y empieza a comportarse como un electrón: una onda, análoga a la que se forma cuando arrojamos una piedra a un estanque, que se extiende y se superpone consigo misma. La pregunta clásica —¿dónde está exactamente la partícula?— deja de tener sentido operativo. La pregunta que sí tiene sentido, la única que la física puede responder, es otra: ¿dónde es más probable encontrarla si la buscamos?
Este cambio de pregunta no es un capricho filosófico ni una limitación transitoria de nuestros instrumentos. Es estructural. La mecánica cuántica no describe trayectorias sino amplitudes de probabilidad, y esas amplitudes son objetos ondulatorios: interfieren, se refuerzan, se cancelan, igual que dos olas que se cruzan en la superficie de un lago. La partícula confinada en el estadio microscópico ya no rebota como una bola siguiendo un camino único; existe, en cada instante, como una superposición de todos los caminos posibles dentro del contorno, y esa superposición es lo que la ecuación de Schrödinger permite calcular con exactitud.
III. La ecuación que gobierna la onda
La fórmula que rige el comportamiento estacionario de esa onda es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que en su forma más compacta se escribe
y que, para una partícula libre confinada en un plano —como el fondo de nuestro estadio de billar—, se expande como
Conviene detenerse en lo que dice cada término, porque cada uno tiene una función precisa dentro del razonamiento y ninguno es decorativo. La función $\psi$, la letra griega psi, no es la partícula ni su posición: es la función de onda, el objeto matemático que contiene toda la información física accesible sobre el sistema. No se observa directamente —nadie mide $\psi$ con un aparato—, pero su módulo al cuadrado, $|\psi(x,y)|^2$, sí tiene un significado físico inmediato: es la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en el punto $(x,y)$ si en ese instante realizamos una medición. El término $V(x,y)$ es el potencial, y en nuestro caso hace exactamente el trabajo de las paredes del estadio: vale cero en todo el interior de la mesa, donde la partícula es libre de moverse sin restricciones, y salta a infinito apenas se cruza el borde, lo que en el lenguaje de la ecuación equivale a imponer que la función de onda se anule exactamente sobre el contorno, como si las paredes fueran perfectamente reflectantes e infranqueables. Los dos términos con derivadas segundas, $\partial^2\psi/\partial x^2$ y $\partial^2\psi/\partial y^2$, forman el laplaciano de la función de onda y describen su curvatura espacial: cuánto más rápido oscila $\psi$ en cada dirección, indicador directo, por la relación de De Broglie, del momento de la partícula. La constante $\hbar$ es la constante de Planck reducida, la cifra que fija la escala en la que los efectos cuánticos dejan de ser despreciables, y $m$ es la masa de la partícula. Del otro lado de la igualdad, $E$ es la energía total, y el hecho de que la ecuación solo tenga solución para ciertos valores discretos de $E$ —los llamados autovalores— es la razón matemática por la cual la energía de una partícula confinada está cuantizada: no puede tomar cualquier valor, sino solo aquellos que permiten que la onda encaje de manera consistente dentro del contorno del estadio, del mismo modo en que una cuerda de guitarra fija en sus dos extremos solo puede vibrar en ciertos armónicos y no en cualquier frecuencia arbitraria.
Para ver cómo evoluciona esa onda en el tiempo —y no solo su forma estacionaria— se recurre a la versión dependiente del tiempo de la misma ecuación,
que es la que efectivamente se integra numéricamente cuando los físicos simulan un paquete de ondas soltado dentro de un estadio de Bunimovich. La onda avanza, choca contra los tramos rectos y contra los semicírculos, se refleja, y las distintas partes reflejadas empiezan a superponerse entre sí y consigo mismas. En los puntos donde la cresta de una parte de la onda coincide exactamente con el valle de otra, la amplitud se cancela por completo: ahí $|\psi|=0$ y la probabilidad de encontrar a la partícula es, literalmente, nula. Lo notable —y es la parte del fenómeno que en principio parece más exótica pero que en realidad está muy bien caracterizada matemáticamente— es que la fase de la onda, es decir el ángulo que describe en qué punto de su ciclo de oscilación se encuentra en cada lugar, queda indefinida exactamente en esos ceros, y al recorrer un circuito cerrado alrededor de uno de ellos la fase da un giro completo de $2\pi$ (o un múltiplo entero de $2\pi$). Ese giro forzado alrededor de un punto de amplitud nula es, por definición, un vórtice de fase: no una metáfora poética sino un objeto matemático preciso, estudiado desde 1974 por John Nye y Michael Berry bajo el nombre de “dislocaciones de las ondas”, en analogía directa con las dislocaciones cristalinas de la física del estado sólido (Nye y Berry, Dislocations in Wave Trains, 1974; una síntesis reciente en Dennis y Berry, Wave vortices 50 years on, 2024). Estos vórtices de fase aparecen en ondas de luz, en ondas de sonido y en funciones de onda cuánticas por igual: son un rasgo genérico de cualquier campo ondulatorio complejo, no una peculiaridad del video del estadio de billar cuántico. Lo que ese video muestra, entonces, no es una rareza aislada sino la firma visual de una estructura matemática universal: allí donde una onda se pliega sobre sí misma lo suficiente, aparecen remolinos de fase organizados alrededor de ceros de probabilidad.
IV. La demostración de que el caos es real —y matemáticamente inevitable
Hasta acá el relato podría sonar cualitativo, casi pictórico: “la onda choca, se pliega, aparecen remolinos”. Pero el caos del estadio de Bunimovich no es una impresión visual, es un teorema. Conviene precisar en qué sentido, porque ahí está el núcleo duro del argumento.
Un sistema dinámico se llama caótico, en el sentido técnico que interesa acá, cuando exhibe sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales: dos trayectorias que parten con una diferencia infinitesimal $\delta_0$ en su condición inicial se separan, en promedio, como $\delta(t)\approx\delta_0\,e^{\lambda t}$, donde $\lambda$ es el exponente de Lyapunov mencionado antes. Si $\lambda>0$, cualquier error de medición, por minúsculo que sea, se duplica una y otra vez hasta volverse del tamaño del propio sistema en un tiempo que crece apenas logarítmicamente con la precisión inicial: pasar de un error de una parte en un millón a un error de una parte en un billón no compra casi ningún tiempo extra de predictibilidad, porque el logaritmo aplasta esa ganancia. Bunimovich no conjeturó esto: lo demostró rigurosamente en 1974 y 1979, probando que el estadio es ergódico (toda trayectoria, salvo un conjunto de medida nula, visita cualquier región del espacio de fases con una frecuencia proporcional a su área), mixing (la distribución de trayectorias se “revuelve” uniformemente con el tiempo, perdiendo toda correlación con la condición inicial) y que además satisface la propiedad de Kolmogorov —y Nikolai Chernov extendió más tarde la prueba a la propiedad de Bernoulli, la forma más fuerte de aleatoriedad estadística que puede exhibir un sistema determinista—. El mecanismo geométrico detrás de esta prueba es el desenfoque que mencionamos antes: cada vez que un haz de rayos paralelos atraviesa uno de los semicírculos, primero converge hacia un foco (lo que localmente parecería estabilizar las trayectorias) pero inmediatamente después, al alejarse del foco dentro de la misma región curva, diverge más rápido de lo que había convergido. Ese desbalance neto —divergencia post-focal mayor que la convergencia pre-focal— es lo que produce, matemáticamente, un exponente de Lyapunov positivo, y experimentos macroscópicos recientes, con una mesa robótica de más de tres metros, confirmaron ese exponente prediciendo su valor con precisión razonable a partir de la sola geometría de la mesa (Vasconcelos et al., Nature Scientific Reports, 2022).
Lo verdaderamente interesante —y es la razón por la cual este sistema se volvió un caballo de batalla en la física teórica desde los años setenta— es que ese caos clásico, absolutamente determinista y demostrado con rigor matemático, deja una huella reconocible en la mecánica cuántica del mismo sistema, aunque la ecuación de Schrödinger es lineal y no tiene, en sí misma, sensibilidad exponencial a condiciones iniciales de la manera en que la tiene la mecánica clásica. Esa huella tiene nombre: caos cuántico, y se manifiesta en las estadísticas de los niveles de energía (que siguen la teoría de matrices aleatorias en vez del comportamiento regular de un sistema integrable) y en la sensibilidad extrema del sistema frente a perturbaciones diminutas de su hamiltoniano, un fenómeno estudiado bajo el nombre de eco de Loschmidt precisamente en el estadio de Bunimovich por un grupo de físicos argentinos, con nodos en Buenos Aires y Córdoba (Wisniacki, Vergini, Pastawski y Cucchietti, 2002). En otras palabras: el caos no desaparece al bajar a la escala cuántica, se transforma. Dejar de tener sentido preguntar “¿por dónde va la bola?” no significa que el desorden se disuelva; significa que el desorden migra a la estructura de las probabilidades mismas, a la manera en que se organizan los ceros y los vórtices de la función de onda.
V. Lo que esta física dice de nosotros
La física de las ondas y del caos no se queda encerrada en un laboratorio; se proyecta directamente sobre la manera en que experimentamos nuestra propia existencia, y conviene ser preciso sobre en qué sentido esa proyección es legítima y en qué sentido hay que manejarla con cautela.
A escala atómica, un cuerpo humano no está hecho de esferas sólidas e inmutables sino de billones de eventos gobernados, en última instancia, por la misma ecuación de Schrödinger que rige al electrón del estadio: cada reacción química que sostiene un pensamiento depende de partículas cargadas que “eligen” entre estados posibles según probabilidades bien definidas pero no determinadas de antemano. Sin embargo —y esto es importante para no simplificar de más— el motivo principal por el cual la vida y el futuro resultan impredecibles no es únicamente esa indeterminación cuántica microscópica, sino su amplificación por sistemas caóticos macroscópicos. El cerebro, entendido como un sistema físico con una enorme cantidad de grados de libertad no lineales acoplados entre sí, tiene todas las condiciones estructurales para comportarse, en ciertos regímenes, como un amplificador de fluctuaciones diminutas: un canal iónico que se abre o no en una neurona puede, en principio, inclinar la balanza de una decisión, y esa decisión —como en el estadio de Bunimovich, donde un milímetro de diferencia en el tiro inicial se vuelve irreconocible después de tres rebotes— puede propagarse y amplificarse a través de una red neuronal completa. El entorno social y físico en el que vivimos funciona, en esta analogía, como la geometría curva del estadio: las decisiones ajenas, el clima, un encuentro fortuito, actúan como las paredes que desenfocan cualquier trayectoria previsible y la devuelven convertida en algo distinto de lo que hubiera sido con una condición inicial apenas diferente. Un segundo de demora al cruzar una calle, un correo enviado un minuto más tarde, una conversación que no estaba planeada: cada uno de esos eventos funciona como un rebote contra una pared curva, y el efecto acumulado de varios rebotes sucesivos es, estructuralmente, indistinguible de la divergencia exponencial que Bunimovich demostró para su billar. No podemos predecir el futuro no porque seamos torpes calculando, sino porque tanto la física fundamental como la geometría de los sistemas en los que vivimos están construidas, literalmente, sobre la amplificación de la incertidumbre.
VI. El tratamiento filosófico
El fin del mecanicismo y el resurgimiento del albedrío. A comienzos del siglo XIX, Pierre-Simon Laplace llevó el determinismo newtoniano a su formulación más extrema en la introducción a su Essai philosophique sur les probabilités (1814): imaginó una inteligencia capaz de conocer, en un instante dado, la posición y el estado de movimiento de cada partícula del universo, y sostuvo que para semejante inteligencia nada sería incierto, y el futuro, igual que el pasado, estaría presente ante sus ojos (Laplace, 1814; traducción y contexto en Vulpiani, On the strangeness of quantum mechanics). Ese “demonio de Laplace” —el nombre es de sus comentaristas, no del propio Laplace, quien hablaba simplemente de “una inteligencia”— es la imagen más pura del mecanicismo dieciochesco: si el universo es una maquinaria de causas y efectos perfectamente conocida, entonces todo lo que alguna vez pensaremos, decidiremos o leeremos estaba ya escrito, en potencia, desde el instante inicial. Bajo esa visión, la libertad humana no sería más que una ilusión cómoda, el nombre que le damos a nuestra ignorancia de las causas que en realidad nos determinan.
El caos cuántico, en el sentido preciso que reconstruimos en las secciones anteriores, no refuta al demonio de Laplace por una vía retórica sino por dos vías técnicas independientes y complementarias. Por un lado, la mecánica cuántica reemplaza la certeza absoluta de la posición y el momento por una descripción irreductiblemente probabilística: no se trata de que ignoremos el “verdadero” valor oculto de esas magnitudes, como creía todavía Einstein, sino de que —salvo que se acepten variables ocultas no locales, un camino que la física experimental ha ido cerrando progresivamente— esas magnitudes simplemente no tienen un valor definido hasta el momento de la medición. Por otro lado, incluso si aceptáramos, a fines de la discusión, que existiera algún nivel más profundo perfectamente determinista debajo de la mecánica cuántica, el teorema de Bunimovich nos dice que la sola geometría de un sistema puede volver ese determinismo inútil en la práctica: ningún demonio con recursos computacionales finitos podría seguir el rastro de un error de medición que se duplica exponencialmente cada pocas colisiones. El futuro deja de estar contenido, en potencia, en el estado presente del universo, no porque las leyes fallen sino porque las leyes mismas —lineales, deterministas, perfectamente escritas— generan una cascada de bifurcaciones que ninguna inteligencia finita, y probablemente ninguna inteligencia posible, puede seguir hasta el final. El futuro no es un libro ya escrito que esperamos a que se despliegue: se está escribiendo, en tiempo real, en la interferencia de infinitas posibilidades que la propia física se encarga de mantener abiertas.
La paradoja de la estructura dentro del desorden. En el estadio de Bunimovich, el movimiento es caótico en el sentido técnico —impredecible a largo plazo, sensible a cualquier perturbación— pero no es ruido informe. Produce patrones: vórtices de fase organizados con simetrías reconocibles, cicatrices cuánticas (las famosas scars estudiadas por Eric Heller, concentraciones de probabilidad a lo largo de las órbitas periódicas inestables del sistema clásico) y estructuras de una belleza visual notable, que es justamente lo que hace que ese tipo de simulaciones circulen como videos virales. Filosóficamente, esto desarma una equivalencia demasiado fácil entre “caótico” e “informe” o “sin sentido”. La vida funciona de un modo estructuralmente análogo: dentro del caos impredecible de la existencia —enfermedades, coincidencias, encuentros fortuitos, decisiones ajenas que no controlamos— emergen estructuras dotadas de significado, identidad y propósito, del mismo modo en que la ecuación de Schrödinger, perfectamente determinista y lineal, genera sobre el contorno caótico del estadio patrones de interferencia reconocibles y estables en su forma general aunque impredecibles en su detalle exacto. El caos, en este sentido preciso, no es la ausencia de orden sino una de las fuentes posibles —quizás la más fértil— de la complejidad y de la novedad genuina, aquella que no estaba ya contenida, comprimida, en la condición inicial.
El observador y la construcción de la realidad. En mecánica cuántica, el estado de superposición de una onda de probabilidades se resuelve en un hecho concreto, único, solamente cuando ocurre una interacción o una medición: antes de ese momento, hablar de “dónde está” la partícula no tiene referente físico, solo lo tiene la distribución de probabilidades completa. Trasladado al plano existencial —con toda la cautela que exige una analogía entre un formalismo físico preciso y una experiencia subjetiva que ese formalismo no describe literalmente—, esta estructura sugiere que la realidad vivida no es un escenario estático que contemplamos desde afuera, como espectadores pasivos de una película ya filmada. Somos, en un sentido que el estadio de Bunimovich ilustra con una precisión casi incómoda, agentes que rebotan dentro de un contorno que no elegimos —la geometría curva de nuestras circunstancias— y que, con cada decisión y cada acción, colapsan un abanico de posibilidades abiertas en un presente único, irreversible y, sobre todo, genuinamente no escrito de antemano.
VII. Dimensión ontológica: el ser como potencia y el peso del tiempo
Si el análisis físico nos deja en la frontera de la probabilidad y el análisis epistemológico nos muestra los límites de lo que podemos llegar a saber, queda todavía una pregunta que ninguna de las dos secciones anteriores responde por sí sola, porque no es una pregunta sobre el conocimiento sino sobre el ser: ¿qué clase de realidad es esta en la que el caos clásico y la función de onda cuántica coexisten? ¿Qué es, exactamente, lo que “hay” en el estadio de Bunimovich mientras la onda se pliega sobre sí misma?
Desde Aristóteles hasta la física mecanicista del siglo XIX, buena parte de la ontología occidental estuvo organizada alrededor de la idea de sustancia: cosas sólidas, con atributos fijos, que existen de manera autónoma y simplemente se desplazan a través del tiempo sin alterar su naturaleza. La bola de billar clásica del primer apartado es el arquetipo de esa ontología: un objeto que “es” independientemente de que lo observemos, y que solo cambia de lugar. El estado cuántico en el estadio de Bunimovich, en cambio, resiste esa descripción. La partícula no “posee” una posición a la espera de ser consultada; ocurre, más bien, como un acontecimiento de interferencia, un evento que se resuelve de manera distinta según el contorno en el que está inscripto y el instante en que se lo interroga. Trasladada a un vocabulario filosófico, esta idea no es enteramente nueva —tiene un antecedente directo en la distinción aristotélica entre potencia (dynamis) y acto, y fue retomada en clave contemporánea por la filosofía del proceso de Alfred North Whitehead y por la ontología del devenir que Gilles Deleuze desarrolló en el siglo XX—, pero la mecánica cuántica le da, por primera vez, un correlato matemático exacto: la función de onda $\psi$ no describe un objeto ya actualizado sino un campo de posibilidades latentes, que solo se resuelve en un hecho concreto cuando choca contra un contorno o es forzado a colapsar mediante una medición.
Hay además un detalle, dentro de los propios vórtices de fase que aparecen en la simulación del estadio, que merece atención ontológica y no solo matemática. En el centro exacto de cada remolino, la amplitud de la onda es cero: $|\psi|=0$. Es un punto de ausencia total, un cero estrictamente literal. Y sin embargo es precisamente alrededor de esa ausencia donde se organiza toda la estructura del campo de fase, donde la circulación de probabilidad adquiere su geometría reconocible. Sin esos puntos de amplitud nula, la onda no tendría alrededor de qué retorcerse: no habría vórtices, no habría la estructura que hace del caos algo más que ruido. Esto sugiere una tesis que vale la pena dejar planteada con cautela, como hipótesis y no como conclusión cerrada: la indeterminación no es la mera ausencia de estructura, sino una de las condiciones bajo las cuales la estructura puede formarse. Un sistema perfectamente determinado en cada uno de sus puntos, sin ningún cero, sin ningún margen de indefinición, tampoco tendría dónde generar novedad genuina; estaría condenado a repetir, con exactitud, lo que ya estaba contenido en su condición inicial.
Esto se conecta con una segunda cuestión, la del propio estatuto del tiempo. En la mecánica clásica newtoniana, el tiempo es una variable reversible: las ecuaciones fundamentales no distinguen, en principio, entre correr la película hacia adelante o hacia atrás. El físico y químico Ilya Prigogine, distinguido con el premio Nobel de Química de 1977 por sus trabajos sobre termodinámica del no equilibrio y estructuras disipativas, argumentó durante buena parte de su carrera que esa reversibilidad es una simplificación válida solo para sistemas integrables, y que en los sistemas fuertemente caóticos y de mezcla —como el propio estadio de Bunimovich— la flecha del tiempo deja de ser una convención útil para convertirse en un rasgo estructural del sistema: la mezcla progresiva de las trayectorias, o en nuestro caso de las fases de la onda, vuelve prácticamente imposible reconstruir el estado pasado a partir del estado presente, aunque las leyes subyacentes sigan siendo, letra por letra, reversibles (Prigogine y Stengers, Order Out of Chaos, 1984; ver también la revisión de su obra en Kondepudi, Petrosky y Pojman, Chaos, 2017). Conviene decir, con la misma honestidad con que reconocimos antes los límites de nuestras propias analogías, que la propuesta de Prigogine no es unánime dentro de la física teórica: hay quienes sostienen que basta la estadística de sistemas con muchos grados de libertad para explicar la irreversibilidad observada, sin necesidad de postular que el tiempo adquiere un peso ontológico adicional en los sistemas caóticos. Pero incluso en su versión más moderada, la idea central resiste: el pasado queda depositado como una interferencia ya fijada, mientras que el futuro permanece abierto como un abanico de fases todavía por decidirse, y esa asimetría no es una ilusión de nuestra memoria limitada sino una consecuencia directa de cómo se comportan los sistemas cuando son, como el estadio de Bunimovich, genuinamente caóticos.
La existencia —tanto la de un electrón confinado en una cavidad microscópica como la de una conciencia humana inscripta en el cosmos— no se deja describir, entonces, como la ejecución de un programa ya escrito de antemano. Se parece más a una aventura ontológica en sentido estricto: cada instante, al resolver una superposición de posibilidades en un hecho concreto, produce un excedente de realidad que no estaba comprimido en ningún estado anterior, ni siquiera en principio, ni siquiera para el demonio de Laplace.
Referencias principales: L. A. Bunimovich, sobre la ergodicidad del billar-estadio (1974, 1979); G. Datseris, L. Hupe y R. Fleischmann, “Estimating Lyapunov exponents in billiards” (2019); J. V. A. Vasconcelos et al., “Interaction between a robot and Bunimovich stadium billiards”, Scientific Reports (2022); J. F. Nye y M. V. Berry, “Dislocations in wave trains”, Proc. R. Soc. A (1974); D. A. Wisniacki, E. G. Vergini, H. M. Pastawski y F. M. Cucchietti, sobre el eco de Loschmidt en el billar de Bunimovich (2002); P.-S. Laplace, Essai philosophique sur les probabilités (1814); I. Prigogine e I. Stengers, Order Out of Chaos (1984) y The End of Certainty (1997).